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Scheitelpunkt einer Parabel

Der Scheitelpunkt in der Funktionsgleichung

Die Lage des Scheitelpunkts einer Parabel kann man aus ihrer Funktionsgleichung unmittelbar ablesen, wenn sie die folgende Form hat:

f(x)=a(x-s_x)²+s_y

Dabei sind s_x und s_y die Koordinaten des Scheitelpunktes S(s_x;s_y).

Beispiel: f(x)=2(x-3)²+5

Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind s_x=3 und s_y=5. Durch ausplutimizieren der Klammer erhält man

f(x)=2(x²-6x+9)+5

f(x)=2x²-12x+23

also eine Funktionsgleichung in der Form

f(x)=ax²+bx+c

Die Lage des Scheitelpunkts

Normalparabel im Ursprung:
S(0;0)     f(x)=(x-0)²+0     f(x)=x²

Verschiebung um 1 in x-Richtung:
S(1;0)     f(x)=(x-1)²+0     f(x)=x²-2x+1

Nochmalige Verschiebung um 1 in x-Richtung:
S(2;0)     f(x)=(x-2)²+0     f(x)=x²-4x+4

Verschiebung der Ursprungsparabel um 1 in y-Richtung:
S(0;1)     f(x)=(x-0)²+1     f(x)=x²+1

Scheitelpunkt bei x=1 und y=1:
S(1;1)     f(x)=(x-1)²+1     f(x)=x²-2x+2

Scheitelpunkt bei x=2 und y=1:
S(2;1)     f(x)=(x-2)²+1     f(x)=x²-4x+5

Scheitelpunkt bei x=0 und y=2:
S(0;2)     f(x)=(x-0)²+2     f(x)=x²+2

Scheitelpunkt bei x=1 und y=2:
S(1;2)     f(x)=(x-1)²+2     f(x)=x²-2x+3

Scheitelpunkt bei x=2 und y=2:
S(2;2)     f(x)=(x-2)²+2     f(x)=x²-4x+6

Verschiebung der Parabel in ein noch völlig unbekanntes Gebiet:

Scheitelpunkt bei x=1 und y=-3:
S(1;-3)     f(x)=(x-1)²-3     f(x)=x²-2x-2

Flachere Parabel mit a=1/4 und Scheitelpunkt bei x=-2 und y=-3:
S(-2;-3)     f(x)=(1/4)(x+2)²-3     f(x)=(1/4)x²+x-2

Wie sich eine Verschiebung der Parabel allgemein in der Funktionsgleichung darstellt ist unter Verschiebung einer Parabel beschrieben.

Wem das alles noch zu flach erscheint, den lade ich ein in die vierte Dimension. Einen Blick hinter die Kulissen gestattet uns erst die Parabel in der komplexen Ebene.

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