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Die Mandelbrotmenge

Die Mandelbrotmenge ist eines der bekanntesten Fraktale. Sie wird durch ein iteratives Verfahren im Bereich der komplexen Zahlen berechnet. Im Folgenden gebe ich eine ausführliche Anleitung, die auch ohne komplexe Zahlen auskommt. Die Methode lässt sich schon mit wenigen mathematischen Kenntnissen nachvollziehen.


Die Mandelbrotmenge selbst berechnen

1. Der Anfang

Wir beginnen mit zwei beliebigen Zahlen, x0 und y0. Die bilden das Zahlenpaar (x0,y0), das sich als Punkt in einem Koordinatensystem abbilden lässt.

Beispiel: Wir wählen als Punkt (-2;1), d.h. x0=-2 und y0=1.




2. Die drei Berechnungen

Wir setzen jetzt x=x0 und y=y0, führen damit nacheinander immer wieder die folgenden drei Berechnungen durch und betrachten jeweils das Ergebnis:

x1=x2-y2+x0

y1=2*x*y+y0

c=(x12+y12)0,5

Beispiel: Die Werte für x und y sind zunächst gleich unseren Ausgangswerten x0=-2 und y0=1, also x=-2 und y=1. Jetzt setzen wir diese vier Werte für x0, y0, x und y in die ersten beiden Formeln ein:

x1=x2-y2+x0
x1=(-2)2-12-2
x1=4-1-2
x1=1

y1=2*x*y+y0
y1=2*(-2)*1+1
y1=-4+1
y1=-3

Die beiden Ergebnisse für x1 und y1 gehen in die dritte Formel ein:

c=(x12+y12)0,5
c=(12+(-3)2)0,5
c=100,5
c=3,16...

Wir haben nun drei Werte, nämlich je einen für x1, y1 und c.

3. Die Wiederholungen

Diese drei Berechnungen für x1, y1 und c können beliebig oft wiederholt werden. Dazu nehmen wir die Ergebnisse für x1 und y1 und setzen sie wiederum in dieselben Formeln ein, und zwar anstelle von x und y.

Beispiel:

Unsere Zwischenergebnisse waren x1=1 und y1=-3. Diese machen wir nun zu unseren neuen Werten für x und y, also x=1 und y=-3. Darüberhinaus brauchen wir auch wieder unsere Ausgangswerte x0=-2 und y0=1. Alle vier Werte setzen wir jetzt erneut in die beiden bekannten Formeln ein:

x1=x2-y2+x0
x1=12-(-3)2-2
x1=1-9-2
x1=-10

y1=2*x*y+y0
y1=2*1*(-3)+1
y1=-6+1
y1=-5

Wir haben jetzt zwei neue Werte für x1 und y1. Sie gehen wieder in die dritte Formel ein:

c=(x12+y12)0,5
c=((-10)2+(-5)2)0,5
c=1250,5
c=11,18...

Insgesamt erhalten wir drei neue Werte für x1, y1 und c. Das können wir beliebig oft wiederholen und beobachten, wie sich dabei die Werte für c entwickeln.


Eine Beispielrechnung für vier Punkte

Im Folgenden führen wir die Berechnung für vier verschiedene Ausgangspunkte durch, und zwar jeweils mit drei Wiederholungen:

Ausgangspunkte
(x0;y0) (-2; 1) (-1; 1) (-2; 0) (-1; 0)
x=x0 x=-2 x=-1 x=-2 x=-1
y=x0 y=1 y=1 y=0 y=0

1. Berechnung
x1=x2-y2+x0 x1=(-2)2-12-2 x1=(-1)2-12-1 x1=(-2)2-02-2 x1=(-1)2-02-1
x1=1 x1=-1 x1=2 x1=0
y1=2*x*y+y0 y1=2*(-2)*1+1 y1=2*(-1)*1+1 y1=2*(-2)*0+0 y1=2*(-1)*0+0
y1=-3 y1=-1 y1=0 y1=0
c=(x12+y12)0,5 c=(12+(-3)2)0,5 c=(-12+(-1)2)0,5 c=(22+(0)2)0,5 c=(02+(0)2)0,5
c=3,16... c=1,41... c=2 c=0

2. Berechnung
x=x1 x=1 x=-1 x=2 x=0
y=y1 y=-3 y=-1 y=0 y=0
x1=x2-y2+x0 x1=12-(-3)2-2 x1=(-1)2-(-1)2-1 x1=22-02-2 x1=02-02-1
x1=-10 x1=-1 x1=2 x1=-1
y1=2*x*y+y0 y1=2*1*(-3)+1 y1=2*(-1)*(-1)+1 y1=2*(2)*0+0 y1=2*(0)*0+0
y1=-5 y1=3 y1=0 y1=0
c=(x12+y12)0,5 c=((-10)2+(-5)2)0,5 c=((-1)2+32)0,5 c=(22+02)0,5 c=((-1)2+02)0,5
c=11,18... c=3,16... c=2 c=1

3. Berechnung
x=x1 x=-10 x=-1 x=2 x=-1
y=y1 y=-5 y=3 y=0 y=0
x1=x2-y2+x0 x1=(-10)2-(-5)2-2 x1=(-1)2-(3)2-1 x1=22-02-2 x1=(-1)2-02-1
x1=73 x1=-9 x1=2 x1=0
y1=2*x*y+y0 y1=2*(-10)*(-5)+1 y1=2*(-1)*(3)+1 y1=2*2*0+0 y1=2*(-1)*0+0
y1=101 y1=-5 y1=0 y1=0
c=(x12+y12)0,5 c=((73)2+(101)2)0,5 c=((-9)2+(-5)2)0,5 c=(22+02)0,5 c=(02+02)0,5
c=124,61... c=10,29... c=2 c=0

Je nach Ausgangspunkt verhalten sich die Werte für c ganz unterschiedlich. Für die ersten beiden Punkte nehmen die Werte zu, beim dritten Punkt bleiben sie konstant 2, und beim vierten Punkt schließlich ist c immer abwechselnd 0 und 1.

Um nun zu entscheiden ob ein Punkt zur Mandelbrotmenge gehört, betrachten wir die Entwicklung der Werte für c. Wenn c größer als 2 wird, so gehört der Ausgangspunkt nicht zur Mandelbrotmenge. Von unseren vier Ausgangspunkten gilt das nur für die ersten beiden, also für (-2;1) und (-1;1). Von allen übrigen Punkten nehmen wir zunächst an, dass sie zur Mandelbrotmenge gehören. Es kann vorkommen, dass c zunächst noch kleiner als 2 ist, irgendwann aber größer als 2 wird. In unseren Rechnungen war dies bei (-1;1) der Fall. Nach der ersten Berechnung war c=1,41... und damit kleiner gleich 2. Hätten wir hier aufgehört zu rechnen, so hätten wir zunächst annehmen können, der Punkt (-1;1) gehöre zur Mandelbrotmenge. Beim nächsten Rechendurchgang aber wurde c=3,16..., also größer als 2. Jetzt kann man sicher sagen, dass (-1;1) nicht zur Mandelbrotmenge gehört.


Graphische Darstellung des Ergebnisses

Wie kommen nun die schönen Bilder der Mandelbrotmenge zustande? Wir gehen zunächst wieder von unserem Koordinatensystem aus. Eine Computergraphik besteht aus einzelnen Bildpunkten. Damit man die Bildentstehung gut erkennen kann, sind in den folgenden Graphiken diese Bildpunkte zu Quadratflächen vergrößert. Jeder Punkt in unserem Koordinatensystem, für den c den Wert 2 nicht übersteigt, wird schwarz gefärbt. Alle anderen erhalten eine bunte Farbe. Dabei kann man noch unterscheiden, wieviele Rechenschritte es gedauert hat, bis c größer als 2 wurde, und entsprechend verschiedene bunte Farben verwenden. In unserem Beispiel sehen wir, dass der erste Punkt (-2;1) schon nach einem Rechendurchgang c=3,16... ergab, also größer als 2 wurde. Für den nächsten Punkt (-1;1) jedoch war zunächst c=1,41... . Erst beim zweiten Rechendurchgang wurde c größer als 2, und zwar mit c=3,16... . In unserer Darstellung können wir nun für diese beiden Fälle zwei verschiedene Farben vergeben, für den einen z.B. blau, für den anderen rot. So entsteht die folgende Graphik:





Vergrößerung

Als nächstes erweitern wir unsere Darstellung, indem wir das betrachtete Gebiet etwas ausweiten und zwar entlang der x-Achse auf den Bereich von -3 bis 1 und auf der y-Achse von -1 bis 1. Wir färben einen Punkt wieder blau, sobald c größer als 2 wird. Nach dem ersten Rechendurchgang erhalten wir:


Nach dem zweiten Rechendurchgang, färben wir alle Punkte rot, bei denen c jetzt zum ersten Mal den Wert 2 überschritten hat. Wir erhalten:


Es folgen nun dieselben beiden Abbildungen, aber mit den Werten für c. Die erste Graphik zeigt alle Ergebnisse für c nach dem ersten Rechendurchgang, die zweite, die Ergebnisse nach dem zweiten Rechendurchgang:



Man erkennt jetzt deutlich, dass alle Punkte, für die c schon im ersten Durchgang größer als 2 waren, blau gefärbt wurden. Die Punkte für die c erst im zweiten Durchgang größer als 2 wurde, wurden rot gefärbt. Die verbleibenden Punkte bleiben schwarz.


Verfeinerung der Auflösung

Wir können die Darstellung weiter verfeinern, indem wir ein engeres Raster für unsere Ausgangspunkte wählen. In den nächsten Abbildungen haben die untersuchten Punkte entlang beider Achsen nur noch einen Abstand von 0,5. Die Anzahl der Rechnungsdurchgänge ist von 2 auf 4 erhöht. Wir haben also jetzt vier Graphiken, die die Größe von c nach dem 1., 2., 3. und 4. Rechnungsdurchgang illustrieren. Die Farbwahl ist wieder abhängig davon, nach der wievielten Wiederholung c größer als 2 wurde. Die Punkte, für die c bis zum Schluss kleiner oder gleich 2 sind, sind schwarz.







Die Entwicklung der einzelnen Iterationsschritte in der komplexen Ebene kann man unter Fraktalexplosion verfolgen.

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© 2006 Thomas P. Birkhoff