Abbildung von Funktionswerten in der komplexen Ebene
Die Funktion f(z)=z2-2z+2 mit Definitionsbereich und Wertebereich
in den komplexen Zahlen lässt sich mit z=x+yi darstellen als:
f(x+yi)=(x+yi)2-2(x+yi)+2 mit i2=-1
f(x+yi)=x2+2xyi+y2i2-2x-2yi+2
f(x+yi)=x2+2xyi-y2-2x-2yi+2
f(x+yi)=x2-y2-2x+2+2xyi-2yi
Für f(3+2i) ergibt sich beispielsweise:
f(3+2i)=(3+2i)2-2(3+2i)+2
f(x+yi)=32+2*3*2i+22i2-2*3-2*2i+2
f(x+yi)=32+2*3*2i+22*(-1)-2*3-2*2i+2
f(x+yi)=9+12i+-4-2*3-4i+2
f(x+yi)=1+8i
Auf die gleiche Weise errechnen sich die folgenden 25 Funktionswerte:
Werte für z=x+yi:
| -1+2i |
2i |
1+2i |
2+2i |
3+2i |
| -1+i |
i |
1+i |
2+i |
3+i |
| -1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| -1-i |
-i |
1-i |
2-i |
3-i |
| -1-2i |
-2i |
1-2i |
2-2i |
3-2i |
Die dazugehörigen Funktionswerte für f(z)=u+vi:
| 1-8i |
-2-4i |
-3 |
-2+4i |
1+8i |
| 4-4i |
1-2i |
0 |
1+2i |
4+4i |
| 5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
| 4+4i |
1+2i |
0 |
1-2i |
4-4i |
| 1+8i |
-2+4i |
-3 |
-2-4i |
1-8i |
Werden Definitionsbereich und Wertebereich durch dieselbe Ebene dargestellt, ergibt
sich für die obigen Werte folgende Graphik. Die Werte des Definitionsbereichs sind orange,
die des Wertebereichs rot eingezeichnet, und jedes der 25 Zahlenpaare
durch eine Linie verbunden:
Allgemeine Form der quadratischen Funktion im Bereich der komplexen Zahlen
Was wir oben am Beispiel berechnet haben, fassen wir nun in eine allgemeine Form:
f(z)=az2+bz+c
f(x+yi)=a(x+yi)2+b(x+yi)+c mit i2=-1
f(x+yi)=ax2+2axyi+ay2i2+bx+byi+c
f(x+yi)=ax2+2axyi-ay2+bx+byi+c
f(x+yi)=ax2-ay2+bx+c+2axyi+byi
f(x+yi)=ax2-ay2+bx+c+(2axy+by)i
Sind u der Realteil und v der Imaginärteil des Funktionswertes f(x+yi), so können wir den
Funktionswert f(x+yi) als komplexe Zahl u+vi schreiben:
f(x+yi)=u+vi
u=ax2-ay2+bx+c
v=(2axy+by)i
Teilbetrachtung der Funktionswerte
Die vollständige Darstellung der Funktion f(z)=az2+bz+c im komplexen Bereich
ist vierdimensional. Bei einer Funktion, die von komplexen Zahlen auf komplexe Zahlen
abbildet, haben wir es mit zwei komplexen Ebenen zu tun; eine für den Definitionsbereich
mit den Achsen x und y für z=x+yi, und die andere für den Wertebereich mit den
Achsen u und v für f(z)=u+vi. Die Vierdimensionalität ist auch aus der
Funktionsschreibweise f(x+yi)=u+vi mit den Größen u, v, x und y unmittelbar ersichtlich.
Um verschiedene Ansichten des Funktionsgraphen zu bekommen, ignorieren wir zunächst immer
zwei der vier Variablen, und betrachten die Funktion, die die anderen beiden bilden.
Teilbetrachtung: Definitionsbereich mit konstantem Imaginärteil
Zunächst halten wir y konstant. Wir beginnen mit
y=0
yi=0
f(x+yi)=ax2-ay2+bx+c+(2axy+by)i
f(x+yi)=ax2+bx+c
In unserem Beispiel ergibt sich:
f(x)=x2-2x+2
Die Werte für y=0 x=-1, 0, 1, 2 und 3 befinden sich in der mittleren Zeile:
Werte für z=x+yi:
| -1+2i |
2i |
1+2i |
2+2i |
3+2i |
| -1+i |
i |
1+i |
2+i |
3+i |
| -1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| -1-i |
-i |
1-i |
2-i |
3-i |
| -1-2i |
-2i |
1-2i |
2-2i |
3-2i |
Die dazugehörigen Funktionswerte für f(z)=u+vi:
| 1-8i |
-2-4i |
-3 |
-2+4i |
1+8i |
| 4-4i |
1-2i |
0 |
1+2i |
4+4i |
| 5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
| 4+4i |
1+2i |
0 |
1-2i |
4-4i |
| 1+8i |
-2+4i |
-3 |
-2-4i |
1-8i |
Diese quadratische Funktion entspricht unserer ursprünglichen Funktion, für den
Bereich der reellen Zahlen. Das wird auch aus dem Vergleich der allgemeinen
Formen deutlich:
f(z)=az2+bz+c für y=0
f(x)=ax2+bx+c
Betrachten wir als nächstes andere konstante Werte für yi, als die 0.
Im Beispiel sind dies die anderen vier Zeilen für y=-2, -1, 1 und 2:
Werte für z=x+yi:
| -1+2i |
2i |
1+2i |
2+2i |
3+2i |
| -1+i |
i |
1+i |
2+i |
3+i |
| -1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| -1-i |
-i |
1-i |
2-i |
3-i |
| -1-2i |
-2i |
1-2i |
2-2i |
3-2i |
Die dazugehörigen Funktionswerte für f(z)=u+vi:
| 1-8i |
-2-4i |
-3 |
-2+4i |
1+8i |
| 4-4i |
1-2i |
0 |
1+2i |
4+4i |
| 5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
| 4+4i |
1+2i |
0 |
1-2i |
4-4i |
| 1+8i |
-2+4i |
-3 |
-2-4i |
1-8i |
Vergleichen wir die Funktionswerte bei y=0 mit diesen hier für y ungleich 0,
so erkennen wir, dass sich der absolute Wert des Realteils um -ay2 unterscheidet:
f(x+yi)=ax2-ay2+bx+c+(2axy+by)i
Das bedeutet, dass im Realteil u des Ergebnisses wieder die gleichen Parabeln auftreten,
nur um den Betrag -ay2 verschoben. Die Höhe dieser Verschiebung ist
eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von y. Diese Funktion wiederum hat
wegen des Faktors -a in -ay2 die gleiche Form, ist aber in die
entgegengesetzte Richtung geöffnet, wie f(x)=ax2+bx+c.
Teilbetrachtung: Realteil des Wertebereichs
Wir betrachten nun den gesamten Wertebereich und vernachlässigen dort den
Imaginärteil. Die folgende Tabelle gibt von unserer
Funktion f(z)=z2-2z+2
allein den Realteil der 25 berechneten Funktionswerte wieder:
| 1 |
-2 |
-3 |
-2 |
1 |
| 4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
| 5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
| 4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
| 1 |
-2 |
-3 |
-2 |
1 |
Die Zeilen weisen Werte von nach oben geöffneten Parabeln auf, die Spalten
dagegen Werte von nach unten geöffneten Parabeln. Die zweite Zeile etwa hat die
Werte 4, 1, 0, 1, 4. Das sind die Funktionswerte von f(n)=n2
für n=-2, -1, 0, 1, 2. Genauso bildet beispielsweise die erste Spalte mit den Werten
1, 4, 5, 4, 1 die Funktionswerte von f(n)=-n2+5 ab
für n=-2, -1, 0, 1, 2. Beide Parabeln berühren sich am Schnittpunkt der ersten Spalte mit
der zweiten Zeile. Das ist die Stelle -1+i unserer Funktion mit dem Funktionswert 4-4i.
An den stets gleichen Differenzen der Werte aller Zeilen und Spalten erkennen wir,
dass alle Teilparabeln die gleiche Form haben müssen. Nur ihre Lage und ihre Ausrichtung
nach oben oder unten variiert. Im einzelnen werden die fünf Zeilen und fünf Spalten
gebildet, wenn wir für n -2, -1, 0, 1, 2 in die folgenden zehn Funktionen einsetzen.
| Zeilen |
f(n)=n2-3 |
f(n)=n2+0 |
f(n)=n2+1 |
f(n)=n2+0 |
f(n)=n2-3 |
| Spalten |
f(n)=-n2+5 |
f(n)=-n2+2 |
f(n)=-n2+1 |
f(n)=-n2+2 |
f(n)=-n2+5 |
Der gesamte Realteil der Funktionswerte bildet ein hyperbolisches Paraboloid,
eine Fläche im dreidimensionalen Raum, die eines Tages auf einem Kinderspielplatz
als Klettergerüst Gestalt annahm.
Teilbetrachtung: Imaginärteil des Wertebereichs
Jetzt werfen wir einen Blick auf den Imaginärteil des Wertebereichs. Der Realteil
der Funktionswerte wird dabei also nicht berücksichtigt. Der Imaginärteil der
25 berechneten Funktionswerte von f(z)=z2-2z+2ist in
der folgenden Tabelle zusammengefasst:
| -8 |
-4 |
0 |
4 |
8 |
| -4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 4 |
2 |
0 |
-2 |
-4 |
| 8 |
4 |
0 |
-4 |
-8 |
Alle fünf Zeilen und alle fünf Spalten zeigen Funktionswerte von Geraden. Setzen wir
für n wieder zeilen- und spaltenweise die Werte -2, -1, 0, 1, 2 ein, so sind die
zugehörigen Funktionsgleichungen:
| Zeilen |
f(n)=4n |
f(n)=2n |
f(n)=0n |
f(n)=-2n |
f(n)=-4n |
| Spalten |
f(n)=4n |
f(n)=2n |
f(n)=0n |
f(n)=-2n |
f(n)=-4n |
Auch der gesamte Imaginärteil der Funktionswerte bildet ein hyperbolisches Paraboloid,
ebenso wie wir es schon für den Realteil festgestellt haben.
Ein Vergleich mit den Zahlentabellen
auf hyperbolisches Paraboloid macht dies
noch einmal deutlich.
So, an dieser Stelle mache ich erst einmal Schluss. Wer mag, kann ja von hier an versuchen,
sich von dem gesamten vierdimensionalen Gebilde eine Vorstellung zu machen. Viel Spaß dabei.
Über ein Feedback würde ich mich sehr freuen. Die Infos dazu finden Sie unter Kontakt.
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© 2006 Thomas P. Birkhoff