Auf einem Spielplatz in der Stadt versammeln sich drei
hyperbolische Paraboloide als buntes Klettergerüst.
Im linken Bild erkennt man eine sich nach oben öffnende Parabel.
Gehen wir ein wenig um das Klettergerüst herum. Hier im rechten Bild sieht man eine sich
nach unten öffnende Parabel. Die Scheitelpunkte beider Parabeln treffen sich im
Sattelpunkt der Fläche.
Ein Blick auf den Sattelpunkt von oben. Die Fläche fällt von der Mitte aus nach rechts oben
und links unten im Bild ab. Nach links oben und rechts unten steigt sie dagegen an.
Die blauen Metallrohre selbst sind gerade. Die geschwungene Sattelfläche des Paraboloid
entsteht allein durch ihre Anordnung.
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Das hyperbolische Paraboloid in 49 Zahlen.
Und so sieht es aus, wenn man einfach unter einem Klettergerüst liegt
und in den Himmel schaut.
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Zum Schluss gibt es noch ganz viele Zahlen zum Anschauen. Auch sie stellen ein hyperbolisches Paraboloid dar.
Der Sattelpunkt befindet sich genau in der Mitte und hat hier den Wert 0.
Von dort aus nehmen die Werte nach rechts unten und links oben ab. Nach links unten und rechts oben nehmen sie zu.
In den Reihen und Spalten sind die Zahlen linear und bilden als Funktion Geraden.
Diagonal dazu sind die Zahlen quadratisch. Sie bilden Parabeln.
Um dies zu verdeutlichen setzen wir für n nacheinander die Werte
-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ein.
Von links nach rechts ergeben sich die Werte in der dunkelblauen Zeile aus der
linearen Funktion f(n)=2n.
Ebenso lassen sich die Werte der dunkelblauen Spalte von unten nach oben aus
f(n)=-5n ermitteln. Eine Funktionsgleichung für die rosa Diagonale von links unten
nach rechts oben ist f(n)=n2, also eine quadratische Funktion.
Die Werte bilden eine nach oben geöffnete Parabel.
Die andere rosa Schräge von links oben nach rechts unten
ergibt sich aus f(n)=-n2+9, eine nach unten geöffnete Parabel.
Beide Parabeln stehen dabei senkrecht aufeinander.
Wie sich die Teilfunktionen des hyperbolischen Paraboloids ergeben, erfahren wir bei einer Betrachtung
der quadratischen Funktion in komplexer Ebene.
Inhalt
© 2006 Thomas P. Birkhoff